Zwei Kreise mit gemeinsamer Sehne
About points...
We associate a certain number of points with each exercise.
When you click an exercise into a collection, this number will be taken as points for the exercise, kind of "by default".
But once the exercise is on the collection, you can edit the number of points for the exercise in the collection independently, without any effect on "points by default" as represented by the number here.
That being said... How many "default points" should you associate with an exercise upon creation?
As with difficulty, there is no straight forward and generally accepted way.
But as a guideline, we tend to give as many points by default as there are mathematical steps to do in the exercise.
Again, very vague... But the number should kind of represent the "work" required.
When you click an exercise into a collection, this number will be taken as points for the exercise, kind of "by default".
But once the exercise is on the collection, you can edit the number of points for the exercise in the collection independently, without any effect on "points by default" as represented by the number here.
That being said... How many "default points" should you associate with an exercise upon creation?
As with difficulty, there is no straight forward and generally accepted way.
But as a guideline, we tend to give as many points by default as there are mathematical steps to do in the exercise.
Again, very vague... But the number should kind of represent the "work" required.
About difficulty...
We associate a certain difficulty with each exercise.
When you click an exercise into a collection, this number will be taken as difficulty for the exercise, kind of "by default".
But once the exercise is on the collection, you can edit its difficulty in the collection independently, without any effect on the "difficulty by default" here.
Why we use chess pieces? Well... we like chess, we like playing around with \(\LaTeX\)-fonts, we wanted symbols that need less space than six stars in a table-column... But in your layouts, you are of course free to indicate the difficulty of the exercise the way you want.
That being said... How "difficult" is an exercise? It depends on many factors, like what was being taught etc.
In physics exercises, we try to follow this pattern:
Level 1 - One formula (one you would find in a reference book) is enough to solve the exercise. Example exercise
Level 2 - Two formulas are needed, it's possible to compute an "in-between" solution, i.e. no algebraic equation needed. Example exercise
Level 3 - "Chain-computations" like on level 2, but 3+ calculations. Still, no equations, i.e. you are not forced to solve it in an algebraic manner. Example exercise
Level 4 - Exercise needs to be solved by algebraic equations, not possible to calculate numerical "in-between" results. Example exercise
Level 5 -
Level 6 -
When you click an exercise into a collection, this number will be taken as difficulty for the exercise, kind of "by default".
But once the exercise is on the collection, you can edit its difficulty in the collection independently, without any effect on the "difficulty by default" here.
Why we use chess pieces? Well... we like chess, we like playing around with \(\LaTeX\)-fonts, we wanted symbols that need less space than six stars in a table-column... But in your layouts, you are of course free to indicate the difficulty of the exercise the way you want.
That being said... How "difficult" is an exercise? It depends on many factors, like what was being taught etc.
In physics exercises, we try to follow this pattern:
Level 1 - One formula (one you would find in a reference book) is enough to solve the exercise. Example exercise
Level 2 - Two formulas are needed, it's possible to compute an "in-between" solution, i.e. no algebraic equation needed. Example exercise
Level 3 - "Chain-computations" like on level 2, but 3+ calculations. Still, no equations, i.e. you are not forced to solve it in an algebraic manner. Example exercise
Level 4 - Exercise needs to be solved by algebraic equations, not possible to calculate numerical "in-between" results. Example exercise
Level 5 -
Level 6 -
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Exercise:
Die Kreise K_:x doubleMinusA^+y doubleMinusB^C und K_:x doubleMinusD^+y doubleMinusE^F haben eine gemeinsame Sehne. Wie lang ist diese?
Solution:
center tikzpicture axis axis linesmiddle axis line styleStealth-Stealth very thick xmin-xmaxymin-ymax xtick distance ytick distance xlabelx ylabely titleKreissehne gridmajor grid stylethin densely dotted black! widthtextwidth heighttextwidth % radius braucht * faktor no idea why draw axis cs:posxposy circle blue radius*radius; draw axis cs:posxtposyt circle blue radius*radiust; draw axis cs:resultxonemitternachtPlus -- axis cs:resultxtwomitternachtMinusline width .mm red; axis tikzpicture center Die gemeinsame Kreissehne ist durch die zwei Schnittpunkte der Kreise verbunden. Um die Schnittpunkte zu finden muss als erstes ein Gleichungssystem mit den beiden Kreisgleichungen erstellt werden. vmatrixx operation-posx^ + y operation-posy^ numround-pad falser x operation-posxt^ + y operation-posyt^ numround-pad falsertvmatrix vmatrixx^ operation-bx operation+c + y^ operation-byy operation+cy r x^ operation-btx operation+ct + y^ operation-btyy operation+cty rt vmatrix vmatrixx^+y^ operation-bx operation-byy rad x^+y^ operation-btx operation-btyy radt vmatrix Das Ergebnis dieses Gleichungssystems ist eine lineare Funktion welche durch die gemeinsamen Schnittpunkte der beiden Kreise definiert ist. bnew x operation+bynewy radnew Diese Funktion kann in ein Gleichungssystem mit einer der zwei Kreisgleichungen eingesetzt werden. Dafür muss die Funktion nach einer Variable aufgelöst werden. Anschliess kann diese Variable in die Kreisgleichung eingesetzt werden. vmatrix x^+y^ operation-b operation-byy numround-pad falserad firstNumbnewx operation+bynewy numround-pad falseradnewvmatrix x fracfirstNumradnew operation-bynewynumround-pad falsebnew fracfirstNumradnew operation-bynewynumround-pad falsebnew^+y^ operation-bfracradnew operation-bynewybnew operation-byy numround-pad falserad firstNumradnewOverBnew operation+bynewOverBnewy^+y^ operation+simple operation+simplery operation-byy numround-pad falserad firstNumradnewOverBnewsq operation+bynewOverBnewsqy^ operation+twoRadnewBynewOverBnewsqy + y^ operation+simple operation+simplery operation-byy numround-pad falserad Schlusslich führt dies zur folgen quadratischen Gleichung firstNumysqy^ operation+uaiy operation+none . Damit erhält man für die beiden Schnittpunkte je eine Koordinate. In diesem Fall ist das die y-Koordinate. Diese Koordinaten können in die vorher herausgefundene lineare Funktion eingesetzt werden und man erhält dadurch die zwei Punkte der Kreissehne. y_ numround-pad falsemitternachtPlus y_ numround-pad falsemitternachtMinus x fracnumround-pad falseradnew operation-bynewybnew x_ fracnumround-pad falsefraconenumround-pad falsebnew x_ numround-pad falseresultxone x_ fracnumround-pad falsefractwonumround-pad falsebnew x_ numround-pad falseresultxtwo Der Vektor der die beiden Schnittpunkte verbindet kann ausgerechnet werden indem man den Ortsvektor des einen Schnittpunktes von der anderen subtrahiert. vec S_S_ pmatrix numround-pad falseresultxtwo operation-resultxone numround-pad falsemitternachtMinus operation-mitternachtPlus pmatrix pmatrix numround-pad falseresultx numround-pad falseresulty pmatrix Schlusslich muss nur noch die Länge des Vektors ausgerechnet werden welche die Länge der Kreissehne entspricht. s sqrtnegSquareresultx+negSquareresulty numround-pad falseresult
Die Kreise K_:x doubleMinusA^+y doubleMinusB^C und K_:x doubleMinusD^+y doubleMinusE^F haben eine gemeinsame Sehne. Wie lang ist diese?
Solution:
center tikzpicture axis axis linesmiddle axis line styleStealth-Stealth very thick xmin-xmaxymin-ymax xtick distance ytick distance xlabelx ylabely titleKreissehne gridmajor grid stylethin densely dotted black! widthtextwidth heighttextwidth % radius braucht * faktor no idea why draw axis cs:posxposy circle blue radius*radius; draw axis cs:posxtposyt circle blue radius*radiust; draw axis cs:resultxonemitternachtPlus -- axis cs:resultxtwomitternachtMinusline width .mm red; axis tikzpicture center Die gemeinsame Kreissehne ist durch die zwei Schnittpunkte der Kreise verbunden. Um die Schnittpunkte zu finden muss als erstes ein Gleichungssystem mit den beiden Kreisgleichungen erstellt werden. vmatrixx operation-posx^ + y operation-posy^ numround-pad falser x operation-posxt^ + y operation-posyt^ numround-pad falsertvmatrix vmatrixx^ operation-bx operation+c + y^ operation-byy operation+cy r x^ operation-btx operation+ct + y^ operation-btyy operation+cty rt vmatrix vmatrixx^+y^ operation-bx operation-byy rad x^+y^ operation-btx operation-btyy radt vmatrix Das Ergebnis dieses Gleichungssystems ist eine lineare Funktion welche durch die gemeinsamen Schnittpunkte der beiden Kreise definiert ist. bnew x operation+bynewy radnew Diese Funktion kann in ein Gleichungssystem mit einer der zwei Kreisgleichungen eingesetzt werden. Dafür muss die Funktion nach einer Variable aufgelöst werden. Anschliess kann diese Variable in die Kreisgleichung eingesetzt werden. vmatrix x^+y^ operation-b operation-byy numround-pad falserad firstNumbnewx operation+bynewy numround-pad falseradnewvmatrix x fracfirstNumradnew operation-bynewynumround-pad falsebnew fracfirstNumradnew operation-bynewynumround-pad falsebnew^+y^ operation-bfracradnew operation-bynewybnew operation-byy numround-pad falserad firstNumradnewOverBnew operation+bynewOverBnewy^+y^ operation+simple operation+simplery operation-byy numround-pad falserad firstNumradnewOverBnewsq operation+bynewOverBnewsqy^ operation+twoRadnewBynewOverBnewsqy + y^ operation+simple operation+simplery operation-byy numround-pad falserad Schlusslich führt dies zur folgen quadratischen Gleichung firstNumysqy^ operation+uaiy operation+none . Damit erhält man für die beiden Schnittpunkte je eine Koordinate. In diesem Fall ist das die y-Koordinate. Diese Koordinaten können in die vorher herausgefundene lineare Funktion eingesetzt werden und man erhält dadurch die zwei Punkte der Kreissehne. y_ numround-pad falsemitternachtPlus y_ numround-pad falsemitternachtMinus x fracnumround-pad falseradnew operation-bynewybnew x_ fracnumround-pad falsefraconenumround-pad falsebnew x_ numround-pad falseresultxone x_ fracnumround-pad falsefractwonumround-pad falsebnew x_ numround-pad falseresultxtwo Der Vektor der die beiden Schnittpunkte verbindet kann ausgerechnet werden indem man den Ortsvektor des einen Schnittpunktes von der anderen subtrahiert. vec S_S_ pmatrix numround-pad falseresultxtwo operation-resultxone numround-pad falsemitternachtMinus operation-mitternachtPlus pmatrix pmatrix numround-pad falseresultx numround-pad falseresulty pmatrix Schlusslich muss nur noch die Länge des Vektors ausgerechnet werden welche die Länge der Kreissehne entspricht. s sqrtnegSquareresultx+negSquareresulty numround-pad falseresult
Meta Information
Exercise:
Die Kreise K_:x doubleMinusA^+y doubleMinusB^C und K_:x doubleMinusD^+y doubleMinusE^F haben eine gemeinsame Sehne. Wie lang ist diese?
Solution:
center tikzpicture axis axis linesmiddle axis line styleStealth-Stealth very thick xmin-xmaxymin-ymax xtick distance ytick distance xlabelx ylabely titleKreissehne gridmajor grid stylethin densely dotted black! widthtextwidth heighttextwidth % radius braucht * faktor no idea why draw axis cs:posxposy circle blue radius*radius; draw axis cs:posxtposyt circle blue radius*radiust; draw axis cs:resultxonemitternachtPlus -- axis cs:resultxtwomitternachtMinusline width .mm red; axis tikzpicture center Die gemeinsame Kreissehne ist durch die zwei Schnittpunkte der Kreise verbunden. Um die Schnittpunkte zu finden muss als erstes ein Gleichungssystem mit den beiden Kreisgleichungen erstellt werden. vmatrixx operation-posx^ + y operation-posy^ numround-pad falser x operation-posxt^ + y operation-posyt^ numround-pad falsertvmatrix vmatrixx^ operation-bx operation+c + y^ operation-byy operation+cy r x^ operation-btx operation+ct + y^ operation-btyy operation+cty rt vmatrix vmatrixx^+y^ operation-bx operation-byy rad x^+y^ operation-btx operation-btyy radt vmatrix Das Ergebnis dieses Gleichungssystems ist eine lineare Funktion welche durch die gemeinsamen Schnittpunkte der beiden Kreise definiert ist. bnew x operation+bynewy radnew Diese Funktion kann in ein Gleichungssystem mit einer der zwei Kreisgleichungen eingesetzt werden. Dafür muss die Funktion nach einer Variable aufgelöst werden. Anschliess kann diese Variable in die Kreisgleichung eingesetzt werden. vmatrix x^+y^ operation-b operation-byy numround-pad falserad firstNumbnewx operation+bynewy numround-pad falseradnewvmatrix x fracfirstNumradnew operation-bynewynumround-pad falsebnew fracfirstNumradnew operation-bynewynumround-pad falsebnew^+y^ operation-bfracradnew operation-bynewybnew operation-byy numround-pad falserad firstNumradnewOverBnew operation+bynewOverBnewy^+y^ operation+simple operation+simplery operation-byy numround-pad falserad firstNumradnewOverBnewsq operation+bynewOverBnewsqy^ operation+twoRadnewBynewOverBnewsqy + y^ operation+simple operation+simplery operation-byy numround-pad falserad Schlusslich führt dies zur folgen quadratischen Gleichung firstNumysqy^ operation+uaiy operation+none . Damit erhält man für die beiden Schnittpunkte je eine Koordinate. In diesem Fall ist das die y-Koordinate. Diese Koordinaten können in die vorher herausgefundene lineare Funktion eingesetzt werden und man erhält dadurch die zwei Punkte der Kreissehne. y_ numround-pad falsemitternachtPlus y_ numround-pad falsemitternachtMinus x fracnumround-pad falseradnew operation-bynewybnew x_ fracnumround-pad falsefraconenumround-pad falsebnew x_ numround-pad falseresultxone x_ fracnumround-pad falsefractwonumround-pad falsebnew x_ numround-pad falseresultxtwo Der Vektor der die beiden Schnittpunkte verbindet kann ausgerechnet werden indem man den Ortsvektor des einen Schnittpunktes von der anderen subtrahiert. vec S_S_ pmatrix numround-pad falseresultxtwo operation-resultxone numround-pad falsemitternachtMinus operation-mitternachtPlus pmatrix pmatrix numround-pad falseresultx numround-pad falseresulty pmatrix Schlusslich muss nur noch die Länge des Vektors ausgerechnet werden welche die Länge der Kreissehne entspricht. s sqrtnegSquareresultx+negSquareresulty numround-pad falseresult
Die Kreise K_:x doubleMinusA^+y doubleMinusB^C und K_:x doubleMinusD^+y doubleMinusE^F haben eine gemeinsame Sehne. Wie lang ist diese?
Solution:
center tikzpicture axis axis linesmiddle axis line styleStealth-Stealth very thick xmin-xmaxymin-ymax xtick distance ytick distance xlabelx ylabely titleKreissehne gridmajor grid stylethin densely dotted black! widthtextwidth heighttextwidth % radius braucht * faktor no idea why draw axis cs:posxposy circle blue radius*radius; draw axis cs:posxtposyt circle blue radius*radiust; draw axis cs:resultxonemitternachtPlus -- axis cs:resultxtwomitternachtMinusline width .mm red; axis tikzpicture center Die gemeinsame Kreissehne ist durch die zwei Schnittpunkte der Kreise verbunden. Um die Schnittpunkte zu finden muss als erstes ein Gleichungssystem mit den beiden Kreisgleichungen erstellt werden. vmatrixx operation-posx^ + y operation-posy^ numround-pad falser x operation-posxt^ + y operation-posyt^ numround-pad falsertvmatrix vmatrixx^ operation-bx operation+c + y^ operation-byy operation+cy r x^ operation-btx operation+ct + y^ operation-btyy operation+cty rt vmatrix vmatrixx^+y^ operation-bx operation-byy rad x^+y^ operation-btx operation-btyy radt vmatrix Das Ergebnis dieses Gleichungssystems ist eine lineare Funktion welche durch die gemeinsamen Schnittpunkte der beiden Kreise definiert ist. bnew x operation+bynewy radnew Diese Funktion kann in ein Gleichungssystem mit einer der zwei Kreisgleichungen eingesetzt werden. Dafür muss die Funktion nach einer Variable aufgelöst werden. Anschliess kann diese Variable in die Kreisgleichung eingesetzt werden. vmatrix x^+y^ operation-b operation-byy numround-pad falserad firstNumbnewx operation+bynewy numround-pad falseradnewvmatrix x fracfirstNumradnew operation-bynewynumround-pad falsebnew fracfirstNumradnew operation-bynewynumround-pad falsebnew^+y^ operation-bfracradnew operation-bynewybnew operation-byy numround-pad falserad firstNumradnewOverBnew operation+bynewOverBnewy^+y^ operation+simple operation+simplery operation-byy numround-pad falserad firstNumradnewOverBnewsq operation+bynewOverBnewsqy^ operation+twoRadnewBynewOverBnewsqy + y^ operation+simple operation+simplery operation-byy numround-pad falserad Schlusslich führt dies zur folgen quadratischen Gleichung firstNumysqy^ operation+uaiy operation+none . Damit erhält man für die beiden Schnittpunkte je eine Koordinate. In diesem Fall ist das die y-Koordinate. Diese Koordinaten können in die vorher herausgefundene lineare Funktion eingesetzt werden und man erhält dadurch die zwei Punkte der Kreissehne. y_ numround-pad falsemitternachtPlus y_ numround-pad falsemitternachtMinus x fracnumround-pad falseradnew operation-bynewybnew x_ fracnumround-pad falsefraconenumround-pad falsebnew x_ numround-pad falseresultxone x_ fracnumround-pad falsefractwonumround-pad falsebnew x_ numround-pad falseresultxtwo Der Vektor der die beiden Schnittpunkte verbindet kann ausgerechnet werden indem man den Ortsvektor des einen Schnittpunktes von der anderen subtrahiert. vec S_S_ pmatrix numround-pad falseresultxtwo operation-resultxone numround-pad falsemitternachtMinus operation-mitternachtPlus pmatrix pmatrix numround-pad falseresultx numround-pad falseresulty pmatrix Schlusslich muss nur noch die Länge des Vektors ausgerechnet werden welche die Länge der Kreissehne entspricht. s sqrtnegSquareresultx+negSquareresulty numround-pad falseresult
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