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Der Kreis einer \glqq Todesspirale\grqq\ (bzw. eines Loopings) hat einen Radius von $\SI{5}{m}$. \begin{abcliste} \abc Wie schnell muss ein Wagen im höchsten Punkt sein, damit er auf der Bahn bleibt? \abc Wie schnell ist er dann im tiefsten Punkt, wenn man von der Reibung absieht? \abc In welcher Höhe über dem tiefsten Punkt muss der Wagen losfahren, um sicher den Kreis zu durchlaufen (ohne Berücksichtigung von Reibung und Anfangsgeschwindigkeit)? \end{abcliste}
(a) $v_B \ge \SI{7}{\meter\per\second}$ \qquad (b) $v_C = \SI{15.66}{\meter\per\second}$ \qquad (c) $h=\SI{12.5}{m}$
\begin{abcliste} \abc Die auf den Wagen wirkende \emph{Zentrifugalkraft} muss grösser sein, als die \emph{Gewichtskraft}, also: \begin{align} \frac{mv_{\mathrm{B}}^2}{r} &\ge mg\\ v_{\mathrm{B}} &\ge \sqrt{gr}\\ &= \sqrt{ \SI{9.81}{\meter\per\second\squared} \cdot \SI{5}{m} }\\ &\approx \SI{7}{\meter\per\second} \end{align} \abc Die Geschwindigkeit im tiefsten Punkt C lässt sich mit dem Energieerhaltungssatz ausrechnen: \begin{align} E_{\mathrm{C}} &= E_{\mathrm{B}}\\ \frac{mv_{\mathrm{C}}^2}{2} &= \frac{mv_{\mathrm{B}}^2}{2} + mg\cdot 2r\\ v_{\mathrm{C}} &= \sqrt{v_{\mathrm{B}}^2 + 4gr} \\ &\approx \SI{15.66}{\meter\per\second} \end{align} \abc Wenn der Wagen in Punkt C die Geschwindigkeit aus Aufgabe (b) hat, dann hat er den Kreis sicher durchlaufen. Um nun die Höhe zu finden, die der Wagen anfänglich in Punkt A braucht, bedienen wir uns wieder des Energiesatzes. \begin{align} E_{\mathrm{A}} &\ge E_{\mathrm{C}}\\ mgh &\ge \frac{mv_{\mathrm{C}}^2}{2}\\ h &\ge \frac{v_{\mathrm{C}}^2}{2g}\\ &\ge 2.5\cdot r\\ &= \SI{12.5}{m} \end{align} \end{abcliste}
| 18:25, 7. June 2017 | si | Urs Zellweger (urs) | Current Version |
