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Tags negativ, positiv, prävalenz, sensitivität, spezifität, statistik, wahrscheinlichkeit Difficulty Points 10 Language Type Quantity Last modified 2 months, 1 week ago Initial Version by Patrik Weber (patrik)	This Exercise is currently not added to any collections.	0

Exercise

In einer Stadt leben hunderttausend Leute. Jeder Tausendste ist mit einem Keim infiziert, weiss jedoch nichts davon, weil er noch nichts merkt. Es gibt aber einen Test mit einer Spezifität von \SI{99}{\percent} und einer Sensitivität von \SI{99}{\percent}. \begin{abclist} \abc Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass jemand, der nun ein positives Testresultat erhält tatsächlich positiv ist? \abc Wie verändert sich das Ergebnis für eine Stadt mit doppelt so vielen Einwohnern, in der ebenfalls jeder Tausendste infiziert ist? \abc Wie verändert sich das Ergebnis, wenn entweder die Sensitivität oder Spezifität \SI{100}{\percent} ist? \end{abclist}

Solution

\newqty{G}{100000}{} \newqty{x}{1000}{} \newqty{SE}{0.99}{} \newqty{SP}{0.99}{} \solqty{et}{\frac{\ssc{\eta}{Se}}{\ssc{\eta}{Se} + (1-\ssc{\eta}{Sp})(x-1)}}{\SEn/(\SEn+(1-\SPn)*(\xn-1))}{} \convto{\percent}{100}{et} \begin{abclist} \abc Leben in einer Stadt $G=100000$ Leute und jeder $x=1000$-te ist infiziert, dann sind insgesamt \solqty{I}{\frac{G}{x}}{\Gn/\xn}{} \al{ I &= \If\\ &= \frac{\G}{\x}\\ &= \ITTT } infiziert und \solqty{N}{\frac{G(x - 1)}{x}}{\Gn-\In}{} \al{ N &= G - I = \frac{G(x - 1)}{x}\\ &= \G - \ITTT\\ &= \Tec{N}{5}{0} } nicht infiziert. Eine Sensitivität von $\ssc{\eta}{Se} = \SE$ bedeutet, dass der Test bei den $I = \ITTT$ infizierten bei \solqty{Pe}{}{\SEn*\In}{} \al{ P_1 &= \ssc{\eta}{Se}\cdot I = \frac{\ssc{\eta}{Se}\cdot G}{x}\\ &= \SE \cdot \I \\ &= \PeTT } ein positives Ergebnis anzeigt. Eine Spezifität von $\ssc{\eta}{Sp}$ bedeutet, dass der Test bei den $N$ nicht Infizierten bei \solqty{Pz}{}{(1-\SPn)*\Nn}{} \al{ P_2 &= (1-\ssc{\eta}{Sp}) \cdot N = \frac{(1-\ssc{\eta}{Sp})\cdot G(x-1)}{x}\\ &= (1-\SP)\cdot \Tec{N}{5}{0}\\ &= \PzTTT } ein positives Ergebnis anzeigt. Der Anteil richtig-positiver beträgt demnach \al{ \eta &= \frac{P_1}{P_1+P_2} = \frac{\frac{\ssc{\eta}{Se}\cdot G}{x}}{\frac{\ssc{\eta}{Se}\cdot G}{x} + \frac{(1-\ssc{\eta}{Sp})\cdot G(x-1)}{x}} = \frac{\ssc{\eta}{Se}}{\ssc{\eta}{Se} + (1-\ssc{\eta}{Sp})(x-1)}\\ &= \frac{\PeTT}{\PeTT+\PzTTT}\\ &= \et = \etCTT } \abc Die absolute Einwohnerzahl spielt keine Rolle, sondern nur der Anteil Infizierter an der Einwohnerzahl. Ist jeder $x$-te infiziert, dann ist dieser Anteil \al{ \ssc{\eta}{Pr} &= \frac{I}{G} = \frac{\frac{G}{x}}{G} = \frac{1}{x}. } Diese Grösse heisst Prävalenz. Ersetzt man in der formalen Lösung $x = \frac{1}{\ssc{\eta}{Pr}}$, dann folgt \al{ \eta &= \frac{\ssc{\eta}{Se}}{\ssc{\eta}{Se} + (1-\ssc{\eta}{Sp})(\frac{1}{\ssc{\eta}{Pr}}-1)} = \frac{\ssc{\eta}{Se}\cdot \ssc{\eta}{Pr}}{\ssc{\eta}{Se}\cdot\ssc{\eta}{Pr} + (1-\ssc{\eta}{Sp})(1-\ssc{\eta}{Pr})}. } \abc Für eine Sensitivität von \SI{100}{\percent} folgt \newqty{x}{1000}{} \newqty{SE}{1}{} \newqty{SP}{0.99}{} \solqty{et}{\frac{\ssc{\eta}{Se}}{\ssc{\eta}{Se} + (1-\ssc{\eta}{Sp})(x-1)}}{\SEn/(\SEn+(1-\SPn)*(\xn-1))}{} \convto{\percent}{100}{et} \al{ \eta &= \etf\\ &= \frac{\SE}{\SE + \qty(1-\SP)(\x-1)}\\ &= \et = \etCTT, } für eine Spezifität von \SI{100}{\percent} \newqty{x}{1000}{} \newqty{SP}{1}{} \newqty{SE}{0.99}{} \solqty{et}{\frac{\ssc{\eta}{Se}}{\ssc{\eta}{Se} + (1-\ssc{\eta}{Sp})(x-1)}}{\SEn/(\SEn+(1-\SPn)*(\xn-1))}{} \convto{\percent}{100}{et} \al{ \eta &= \etf\\ &= \frac{\SE}{\SE + \qty(1-\SP)(\x-1)}\\ &= \et = \etCTT. } \end{abclist}

Revision Table