Exercise
https://texercises.com/exercise/schwerpunkt-einer-getrankedose/
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The following quantities appear in the problem:
The following formulas must be used to solve the exercise:
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Exercise:
abcliste abc Wo liegt der Schwerpunkt einer vollen wo jener einer leeren Dose? abc Bis zu welcher Höhe muss man die Dose austrinken damit der Schwerpunkt möglichst niedrig liegt und daher die Dose am Besten stehen bleibt? abc Welcher Wert ergibt sich für die Schwerpunktshöhe wenn die Dose eine Höhe von cm und eine Masse von g hat? Die ganze Flüssigkeit des Getränkes soll eine Masse von g haben. abcliste

Solution:
abcliste abc Der Schwerpunkt liegt sowohl bei voller als auch leerer Dose jeweils auf halber Höhe also y_Sfrac H; dabei bezeichnet H die Höhe der Limonadose. center tikzpicture fillfillblue! - rectangle ; fillfillblue! ellipse and .; fillfillblue! rectangle ; fillfillblue! ellipse and .; fillwhite ellipse and .; draw arc ::cm and -.cm; filldrawfillwhite ellipse and .; draw - -- -; draw -- ; draw arc ::cm and -.cm; filldrawfillwhite ellipse and .; draw -- ; draw -- ; draw arc ::cm and -.cm; draw ellipse and .; draw -- ; draw -- ; draw arc ::cm and -.cm; filldrawred . circle pt; filldrawred . circle pt; filldrawred . circle pt; node at -. voll; node at -. tiefster Schwerpunkt; node at -. leer; tikzpicture center abc Sei nun wieder H die Höhe der Limonadose und bezeichne h die Füllhöhe der Limonade in der Dose. Ziel ist es eine Funktion zu finden welche jeder Füllhöhe h die Koordinate S des Schwerpunktes zuordnet; d.h. wir suchen eine Funktion Sh. Die zu löse Drehmomentengleichung lautet: stackrelcurvedarrowleftM stackrelcurvedarrowrightM M_texttiny L M_texttiny D F_ x_ F_ x_ m_g leftS-frachright m_ g leftfracH-Sright S fracm_fracH+m_frachm_+m_ center tikzpicture draw --. rectangle .; filldrawfillblue! --. rectangle -.; draw stealth-stealth -. -- - .; node at - h; draw stealth-stealth -. -- .; node at . H; drawdarkgreen-stealth -- -; nodedarkgreen at -.- F_; drawdarkgreen-stealth - -- --; nodedarkgreen at -.- F_; draworange - -- -.; nodeorange at -.-. x_; drawblue -. -- ; nodeblue at -.-. x_; filldrawred -. circle pt nodeaboveS; filldrawgray - circle .pt; node at -.. frach; filldrawgray circle .pt; node at .. fracH; tikzpicture center In dieser letzten Gleichung ist m_ die Masse der Dose und m_ die Masse der eingefüllten Limonade; das ist ein Teil der ganzen Limonade welche ursprünglich in der Dose war also: m_ m_texttiny LfrachH Damit wird die Koordinate des Schwerpunktes zu: Sh fracm_texttiny DfracH+m_texttiny LfrachHfrachm_texttiny LfrachH+m_texttiny D fracm_texttiny DH^+m_texttiny Lh^m_texttiny DH+m_texttiny Lh Die Frage ist jetzt bei welcher Füllhöhe der Schwerpunkt am Tiefsten liegt. Das ist mathematisch gesehen ein Extremalwertproblem; d.h. man muss das Minimum der Funktion Sh finden. Extremalwerte liegen dort wo die Ableitung einer Funktion verschwindet: S'h fracf'g-fg'g^ && textQuotientenregel frac fracm_texttiny Lhm_texttiny DH+m_texttiny Lh-m_texttiny Lh^+m_texttiny DH^m_texttiny Lm_texttiny DH+m_texttiny Lh^ fracm_texttiny Lfracm_texttiny DHh+m_texttiny Lh^-m_texttiny DH^m_texttiny DH+m_texttiny Lh^ Diese Ableitung wird null wenn der Zähler null wird: m_texttiny Lh^+m_texttiny DHh-m_texttiny DH^ &mustbe h frac m_texttiny Lleft-m_texttiny DHpm Hsqrtm_texttiny Dm_texttiny D+m_texttiny Lright Da der Term unter der Wurzel grösser als m_texttiny L ist und für h nur positive Werte sinnvoll sind folgt: h fracsqrt m_texttiny Dm_texttiny D+m_texttiny L-m_texttiny Dm_texttiny L H abc Der Schwerpunkt liegt im konkreten Fall bei: h numpr. .m .m abcliste
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Exercise:
abcliste abc Wo liegt der Schwerpunkt einer vollen wo jener einer leeren Dose? abc Bis zu welcher Höhe muss man die Dose austrinken damit der Schwerpunkt möglichst niedrig liegt und daher die Dose am Besten stehen bleibt? abc Welcher Wert ergibt sich für die Schwerpunktshöhe wenn die Dose eine Höhe von cm und eine Masse von g hat? Die ganze Flüssigkeit des Getränkes soll eine Masse von g haben. abcliste

Solution:
abcliste abc Der Schwerpunkt liegt sowohl bei voller als auch leerer Dose jeweils auf halber Höhe also y_Sfrac H; dabei bezeichnet H die Höhe der Limonadose. center tikzpicture fillfillblue! - rectangle ; fillfillblue! ellipse and .; fillfillblue! rectangle ; fillfillblue! ellipse and .; fillwhite ellipse and .; draw arc ::cm and -.cm; filldrawfillwhite ellipse and .; draw - -- -; draw -- ; draw arc ::cm and -.cm; filldrawfillwhite ellipse and .; draw -- ; draw -- ; draw arc ::cm and -.cm; draw ellipse and .; draw -- ; draw -- ; draw arc ::cm and -.cm; filldrawred . circle pt; filldrawred . circle pt; filldrawred . circle pt; node at -. voll; node at -. tiefster Schwerpunkt; node at -. leer; tikzpicture center abc Sei nun wieder H die Höhe der Limonadose und bezeichne h die Füllhöhe der Limonade in der Dose. Ziel ist es eine Funktion zu finden welche jeder Füllhöhe h die Koordinate S des Schwerpunktes zuordnet; d.h. wir suchen eine Funktion Sh. Die zu löse Drehmomentengleichung lautet: stackrelcurvedarrowleftM stackrelcurvedarrowrightM M_texttiny L M_texttiny D F_ x_ F_ x_ m_g leftS-frachright m_ g leftfracH-Sright S fracm_fracH+m_frachm_+m_ center tikzpicture draw --. rectangle .; filldrawfillblue! --. rectangle -.; draw stealth-stealth -. -- - .; node at - h; draw stealth-stealth -. -- .; node at . H; drawdarkgreen-stealth -- -; nodedarkgreen at -.- F_; drawdarkgreen-stealth - -- --; nodedarkgreen at -.- F_; draworange - -- -.; nodeorange at -.-. x_; drawblue -. -- ; nodeblue at -.-. x_; filldrawred -. circle pt nodeaboveS; filldrawgray - circle .pt; node at -.. frach; filldrawgray circle .pt; node at .. fracH; tikzpicture center In dieser letzten Gleichung ist m_ die Masse der Dose und m_ die Masse der eingefüllten Limonade; das ist ein Teil der ganzen Limonade welche ursprünglich in der Dose war also: m_ m_texttiny LfrachH Damit wird die Koordinate des Schwerpunktes zu: Sh fracm_texttiny DfracH+m_texttiny LfrachHfrachm_texttiny LfrachH+m_texttiny D fracm_texttiny DH^+m_texttiny Lh^m_texttiny DH+m_texttiny Lh Die Frage ist jetzt bei welcher Füllhöhe der Schwerpunkt am Tiefsten liegt. Das ist mathematisch gesehen ein Extremalwertproblem; d.h. man muss das Minimum der Funktion Sh finden. Extremalwerte liegen dort wo die Ableitung einer Funktion verschwindet: S'h fracf'g-fg'g^ && textQuotientenregel frac fracm_texttiny Lhm_texttiny DH+m_texttiny Lh-m_texttiny Lh^+m_texttiny DH^m_texttiny Lm_texttiny DH+m_texttiny Lh^ fracm_texttiny Lfracm_texttiny DHh+m_texttiny Lh^-m_texttiny DH^m_texttiny DH+m_texttiny Lh^ Diese Ableitung wird null wenn der Zähler null wird: m_texttiny Lh^+m_texttiny DHh-m_texttiny DH^ &mustbe h frac m_texttiny Lleft-m_texttiny DHpm Hsqrtm_texttiny Dm_texttiny D+m_texttiny Lright Da der Term unter der Wurzel grösser als m_texttiny L ist und für h nur positive Werte sinnvoll sind folgt: h fracsqrt m_texttiny Dm_texttiny D+m_texttiny L-m_texttiny Dm_texttiny L H abc Der Schwerpunkt liegt im konkreten Fall bei: h numpr. .m .m abcliste
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  1. Getränkedose by TeXercises
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ableiten, differentialrechnung, differenzieren, extrema, hohlzylinder, körper, mathematik, maxima, mechanik, minima, optimum, physik, schwerpunkt, starrer, textaufgabe, vollzylinder, zylinder
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(5, default)
Points
6 (default)
Language
GER (Deutsch)
Type
Calculative / Quantity
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