Exercise:
Eine volle Getränkedose hat den Schwerpunkt in der Mitte. Beginnt man zu trinken so sinkt der Schwerpunkt. Ist sie ausgetrunken so liegt der Schwerpunkt wieder in der Mitte. Wo ist das Minimum? abcliste abc Zeigen Sie dass der Schwerpunkt am tiefsten ist wenn er gerade auf der Flüssigkeitsoberfläche liegt. abc Berechnen Sie mit Hilfe der Information aus der vorangehen Teilaufgabe die Höhe des Schwerpunkts. Nehmen Sie an die Dose sei ein mathematischer Zylinder. abcliste

Solution:
a Vorübung: Stellen Sie sich ein horizontales gerades Brett vor das mit Sand bestreut ist. Irgwo ist der Schwerpunkt. Man kann das Brett im Schwerpunkt unterstützen und es ist im Gleichgewicht. Nimmt man etwas Sand rechts vom Schwerpunkt weg so wandert der Schwerpunkt nach links. Addiert man etwas Sand links vom Schwerpunkt so wandert der Schwerpunkt nach links. Streut man etwas Sand auf den Schwerpunkt so bleibt der Schwerpunkt an Ort. Diese Argumentation lässt sich auf die Dose übertragen. Falls der Flüssigkeitsspiegel über dem Schwerpunkt liegt dann sinkt der Schwerpunkt wenn wir etwas Flüssigkeit entnehmen. Das Minimum ist also noch nicht erreicht. Liegt der Flüssigkeitsspiegel unter dem Schwerpunkt so sinkt der Schwerpunkt wenn wir etwas Flüssigkeit addieren. Das Minimum ist also auch nicht erreicht. Liegt der Flüssigkeitsspiegel am Schwerpunkt und wir addieren ein wenig Getränk so verändert sich der Schwerpunkt nicht. Das muss die tiefste Position des Schwerpunkts sein. Die beiden anderen Fälle können es nicht sein. b Sei m_D die Masse der Dose und y_D die Position des Schwerpunkts der leeren Dose Nullpunkt auf der Unterlage. Sei A die Querschnittsfläche der Dose rho die Dichte der Flüssigkeit und y die Position des Flüssigkeitsspiegels. Dann lässt sich die Position y_S des Schwerpunkts folgermassen berechnen: * &y_S fracm_D y_D + rho Ay tfrac ym_D+rho Ay &y y_S textqquad Bedingung für das Minimum &y fracm_D y_D + rho Ay tfrac ym_D+rho Ay &y left m_D+rho Ay right m_D y_D + tfrac rho Ay^ &tfrac rho Ay^ + m_D y - m_Dy_D &y_ frac-m_D pm sqrtm_D^ + rho A m_D y_D rho A text quad Die physikalische Lösung ist jene mit + * Man kann auch y_S nach y ableiten die Ableitung Null setzen und nach y auflösen. Man erhält dasselbe Resultat. newpage