Exercise:
abcliste abc Gib die vollständige Bezeichnung einer Differentialgleichung des folgen Typs an: mddot y + ky . abc Gegeben sei eine gedämpfte Schwingung welche der Differentialgleichung mddot y + bdot y + ky gehorcht worin mg b.kilogrampersecond und k.kilogrampersecondsquared. Eine Lösung dieser Differentialgleichung ist ytA sinomega t + phi. Berechne omega und gib auch phi an unter der Bedingung dass yfracA. abc Ein gedämpftes System schwinge mit .radianpersecond. Theoretische Überlegungen ergeben dass es ungedämpft mit .radianpersecond schwingen würde. Berechne daraus die Dämpfungskonstante dieses Systems. abc An einem gedämpften Schwingungssystem werde durch eine periodische Anregung eine Schwingung erzwungen so dass es der Differentialgleichung mddot y + bdot y + ky kappa cosOmega t gehorcht worin mg b.kilogrampersecond und k.kilogrampersecondsquared sowie Omegaradianpersecond. Bestimme die Resonanzfrequenz des Systems. Wird das System mit grosser oder kleiner Amplitude schwingen im Vergleich zu kappa? abcliste

Solution:
abcliste abc lineare homogene Differentialgleichung . Ordnung mit konstanten Koeffizienten abc Es gilt: mddot y + bdot y + ky ddot y + fracbmdot y + frackmy ddot y + gamma dot y + omega_^y Damit kann man berechnen: omega_ sqrtfrackm .radianpersecond gamma fracbm .persecond Woraus für die gedämpfte Winkelfrequenz folger Wert errechnet wird: omega sqrtomega_^-gamma^ .radianpersecond. Aus der Anfangsbedingung yfracA folgt: y A sinphi frac sinphi phi .rad abc Es gilt: gamma sqrtomega_^-omega^ .rad abc Aus der Differentialgleichung errechnet man: omega_^ frackm radiansquaredpersecondsquared gamma .persecond Die Resonanzfrequenz ist: omega_r sqrtomega_^-gamma^ .radianpersecond Das System wird also mit sehr kleiner Amplitude schwingen weil omega_r ll Omega. abcliste