Exercise:
abcliste abc Welche Gravitationsbeschleunigung müsste auf einem Himmelskörper wirken damit ein Körper auf ihm nach m freiem Fall eine Geschwindigkeit von kilometerperhour hätte? abc Ein Körper wird mit .meterpersecond vertikal abwärts in einen m tiefen Schacht geworfen. Mit welcher Geschwindigkeit trifft er am Boden auf? abc Jemand wirft auf einer m hohen Brücke steh einen Stein vertikal nach oben so dass dieser unten mit einer Geschwindigkeit von kilometerperhour auf dem Boden auftrifft. Mit welcher Geschwindigkeit wurde der Stein abgeworfen? abc Ein Speer werde so horizontal von einer m hohen Aussichtsplattform eines Turmes abgeworfen dass er auch m vom Fusse des Turmes entfernt im Boden einschlage. Welchen Winkel bildet der Speer mit der Horizontalen? abc Wie weit kann man beim Ballweitwurf einen Ball mit einer Anfangsgeschwindigkeit von werfen? abc Unter einem Winkel von ang wirft man jemandem mit . einen Ball in das .m höher gelegene Fenster zu. Wie lange dauert die ganze Wurfbewegung von Abwurf bis Fang? abcliste

Solution:
abcliste abc Die Beschleunigung müsste . Formel oder Energiesatz g fracv^s frac.^ m .meterpersecondsquared betragen. abc Die quadratische Gleichung fracgt^ + v_ t -s frac-.meterpersecondsquared t^ + left-.meterpersecondright t - -m bestimmt die Zeit nach welcher der Körper unten aufschlägt. Die Lösungen sind: t_ frac-v_pmsqrtv_^ - fracg -s fracg t_ -.s t_ .s Die zweite ist die physikalisch sinnvolle Lösung. Nach dieser Zeit erreicht der Körper seine End- bzw. Aufschlaggeschwindigkeit: v_y v_ + gt_ v_ + g frac-v_+sqrtv_^ - fracg -s fracg -.meterpersecond + left-.meterpersecondsquaredright .s -meterpersecond abc Die beiden Gleichungen v_e v_ + gt s fracgt^+v_ t können durch Substitution von v_ in der zweiten Gleichung zu einer kombiniert werden in der nur noch die Endgeschwindigkeit aber nicht mehr die Anfangsgeschwindigkeit vorkommt: -fracgt^ + vt - s -frac-.meterpersecondsquaredt^ + left-meterpersecondrightt - -m Diese Gleichung hat die folgen beiden Lösungen: t_ frac-vpmsqrtv^ - frac-g -s frac-g t_ .s t_ .s Die erste ist die physikalisch sinnvolle Lösung. Der Stein wurde also mit v_ v-gt v-g frac-vpmsqrtv^ - frac-g -s frac-g -meterpersecond - -.meterpersecondsquared .s meterpersecond aufwärts geworfen. abc Der gesamte Speerwurf dauert t sqrtfracsg .s gleich lange wie es dauern würde um einfach m frei zu fallen. In dieser Zeit erreicht der Speer abwärts eine vertikale Geschwindigkeit von v_y gt -.meterpersecond und braucht eine vertikale Anfangsgeschwindigkeit von v_x fracs_xt .meterpersecond Der Winkel unter welchem er dann auf dem Wasser aufschlägt beträgt: beta arctanfracv_yv_x arctanfracss_x ang. abc Die grösstmögliche Distanz erreicht man bei einem Abwurfwinkel von ang. Somit erreicht man s_x v_x t v_ cosalpha fracv_yg v_ cosalpha fracv_ sinalphag fracv_^g sinalphacosalpha fracv_^g sinalpha m Weite. abc Mit der vertikalen Anfangsgeschwindigkeit von v_y v_ sinalpha .meterpersecond erreicht der Körper im Gravitationsfeld der Erde die angegebene Höhe in einer Zeit welche folger quadratischen Gleichung gehorcht: fracgt^ +v_y t - s_ frac-.meterpersecondsquaredt^ +.meterpersecond t - m Beide Lösungen dieser quadratischen Gleichung also .s und .s sind mögliche Zeiten -- je nach dem ob der Ball beim Aufstieg direkt oder beim wider herunter fallen abgefangen wurde. abcliste