Exercise:
Aus zwölf gleichen Widerstandselementen mit Widerstandswert R in Abbildung reffig:RHexaederGleich gewöhnliche Widerstandsdrähte wird ein Würfel gelötet. Wie gross ist der resultiere Widerstand R_AB über einer Kante R_AC über einen Flächiagonalen und R_AG über einer Raumdiagonalen? quad figureH includegraphicswidthtextwidth#image_path:RHexaederGleich# caption labelfig:RHexaederGleich figure

Solution:
% . Juli Lie. minipage.textwidth captlabelfig:RHexaederGleichNetze Würfel Hexaeder aus zwölf gleichen Widerständen je R und äquivalente ebene Netzwerke aus gleichen Widerständen newline Oben links der Würfel mit beschrifteten Ecken oben rechts das Netzwerk für R_AC Flächiagonale unten rechts das Netz für R_AG Raumdiagonale und unten links das Ersatzschema für R_AB Kante. Die stromlosen Zweige sind gestrichelt eingezeichnet. Um den Ersatzwiderstand zu berechnen legen wir in Gedanken zwischen zwei Punkten eine Spannung an und betrachten die Ströme sowie Potentiale. Wir nützen Symmetrien aus. minipage hfill minipage.textwidth centering includegraphicsGrafiken/RHexaederGleich/RHexaederGleichNetze.pdf % . Juli Lie. minipage vspacemm textbfWiderstand R_AB über einer Würfelkante siehe Abbildung reffig:RHexaederGleichNetze. Die Ecken D und E sowie C und F liegen auf gleichem Potential; wir können sie in Gedanken kurzschliessen respektive zusammenfassen. Damit folgt * &R_AB R || left tfracR + fractfracR RtfracR + R + tfracR right R || left R + tfrac R right R || tfrac R Rightarrow &fracR_AB fracR + fracR fracR Rightarrow R_AB tfrac R qquad textLiteratur: checkmark * textbfWiderstand R_AC über einer Flächiagonalen siehe Abbildung reffig:RHexaederGleichNetze. Die Ecken D H F und B liegen aus Symmetriegründen auf dem gleichen Potential deshalb sind die Kanten DH sowie FB stromlos und können aus der Schaltung eliminiert wrden. Es folgt * fracR_AC fracR + fracR + fracR RR+R + R + fracR fracR Rightarrow R_AC tfrac R qquad textLiteratur: checkmark * textbfWiderstand R_AG über einer Raumdiagonalen siehe Abbildung reffig:RHexaederGleichNetze. Aus Symmetriegründen liegen die Ecken BDE auf gleichem Potential ebenso die Ecken DFH. Damit folgt * fracR_AG tfracR + tfracR + tfrac R tfracR qquad textLiteratur: checkmark * newpage figureH includegraphicswidthtextwidth#image_path:RHexaederGleich# caption labelfig:RHexaederGleich figure figureH includegraphicswidthtextwidth#image_path:RHexaederGleichNetze# caption labelfig:RHexaederGleich figure