Brachistochrone
About points...
We associate a certain number of points with each exercise.
When you click an exercise into a collection, this number will be taken as points for the exercise, kind of "by default".
But once the exercise is on the collection, you can edit the number of points for the exercise in the collection independently, without any effect on "points by default" as represented by the number here.
That being said... How many "default points" should you associate with an exercise upon creation?
As with difficulty, there is no straight forward and generally accepted way.
But as a guideline, we tend to give as many points by default as there are mathematical steps to do in the exercise.
Again, very vague... But the number should kind of represent the "work" required.
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But once the exercise is on the collection, you can edit the number of points for the exercise in the collection independently, without any effect on "points by default" as represented by the number here.
That being said... How many "default points" should you associate with an exercise upon creation?
As with difficulty, there is no straight forward and generally accepted way.
But as a guideline, we tend to give as many points by default as there are mathematical steps to do in the exercise.
Again, very vague... But the number should kind of represent the "work" required.
About difficulty...
We associate a certain difficulty with each exercise.
When you click an exercise into a collection, this number will be taken as difficulty for the exercise, kind of "by default".
But once the exercise is on the collection, you can edit its difficulty in the collection independently, without any effect on the "difficulty by default" here.
Why we use chess pieces? Well... we like chess, we like playing around with \(\LaTeX\)-fonts, we wanted symbols that need less space than six stars in a table-column... But in your layouts, you are of course free to indicate the difficulty of the exercise the way you want.
That being said... How "difficult" is an exercise? It depends on many factors, like what was being taught etc.
In physics exercises, we try to follow this pattern:
Level 1 - One formula (one you would find in a reference book) is enough to solve the exercise. Example exercise
Level 2 - Two formulas are needed, it's possible to compute an "in-between" solution, i.e. no algebraic equation needed. Example exercise
Level 3 - "Chain-computations" like on level 2, but 3+ calculations. Still, no equations, i.e. you are not forced to solve it in an algebraic manner. Example exercise
Level 4 - Exercise needs to be solved by algebraic equations, not possible to calculate numerical "in-between" results. Example exercise
Level 5 -
Level 6 -
When you click an exercise into a collection, this number will be taken as difficulty for the exercise, kind of "by default".
But once the exercise is on the collection, you can edit its difficulty in the collection independently, without any effect on the "difficulty by default" here.
Why we use chess pieces? Well... we like chess, we like playing around with \(\LaTeX\)-fonts, we wanted symbols that need less space than six stars in a table-column... But in your layouts, you are of course free to indicate the difficulty of the exercise the way you want.
That being said... How "difficult" is an exercise? It depends on many factors, like what was being taught etc.
In physics exercises, we try to follow this pattern:
Level 1 - One formula (one you would find in a reference book) is enough to solve the exercise. Example exercise
Level 2 - Two formulas are needed, it's possible to compute an "in-between" solution, i.e. no algebraic equation needed. Example exercise
Level 3 - "Chain-computations" like on level 2, but 3+ calculations. Still, no equations, i.e. you are not forced to solve it in an algebraic manner. Example exercise
Level 4 - Exercise needs to be solved by algebraic equations, not possible to calculate numerical "in-between" results. Example exercise
Level 5 -
Level 6 -
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Exercise:
Bestimme die schnellste Bahnkurve zwischen zwei Punkten A und B auf welcher ein Massenpunkt unter dem Einfluss der Gravitation reibungsfrei gleitet.
Solution:
Zunächst eine Skizze des vorliegen Problems: center tikzpicturescale % Draw axes draw-latex green -- noderight x; draw-latex green -- nodebelow z; % Draw parabola-like function drawpurple!!white thick smooth plot coordinates . . . . . . . . ; % Draw pos A and B coordinate A at ; fill A circle . nodeabove left A; coordinate B at ; fill B circle . nodebelow right B; coordinate a at ; fill a circle . nodeleft a; coordinate b at ; fill b circle . nodeabove b; coordinate z at ; fill violet z circle . nodeabove violet tiny fzz; coordinate h at .; fill violet h circle . nodeleft above blue!!white; coordinate i at . .; fill violet i circle . nodeleft above red tiny ds; drawblue!!white dashed b -- B; drawblue!!white dashed a -- B; drawblue!!white thick z -- h nodeleft midway tiny dz; drawblack!!white thick i -- h nodebelow midway tiny dx; drawred thick z -- i; tikzpicture center Nun möchte man die Zeit bei vorgegebener Kurve fzz bestimmen. Dafür verwet man einerseits itemize item die Geschwindigkeit bei fzz durch Energieerhaltung: E_textpot E_textkin mgz fracmv^ &Rightarrow vsqrtgz item das Streckenelement der Kurve wie in der Skizze ersichtlich: dds^ ddx^+ddz^ f'z^+ddz^ itemize Mit diesen beiden Grössen kann nun die Zeit berechnet werden wie folgt: Tf _textKurvefracddsv _^a sqrtfrac+f'z^gzddz Das Ziel ist es nun eine Funktion f mithilfe vorgegebener Randbedingungen f fab finden sodass Tf minimal ist. bf Idee: Ableitungstest! Ist hhz beliebig mit hha so beschreibt f+epsilon h epsilon in mathbbR auch eine mögliche Bahnkurve quasi Anfangs- und Endpunkt fix dazwischen Bewegung der Kurve beliebig. Wir verlangen Tfleq Tf+epsilon h für alle solchen h und epsilonin mathbbR demnach muss gelten: fractextdddepsilonTf+epsilon hBig|_epsilon _^a fracpartialpartial epsilonsqrtfrac+f'z+epsilon h'z^gzBigg|_epsilonddz _^a fracf'zh'zsqrtgz+f'z^ddz ^textp.I.fracf'zhzsqrtgz+f'z^Bigg|_epsilon - _^a hzfractextdddzleftfracf'zsqrtgz+f'z^rightddz da hha. Damit dies für alle erlaubten h verschwindet muss also gelten: fractextdddzleftfracf'zsqrtgz+f'z^right D.h. die Lösung des Brachistochronenproblems muss diese Differentialgleichung erfüllen. Dazu löst man: leftfracf'zsqrtgz+f'z^right c itemize item Für c wäre f' also fzf für alle z damit erfüllt es allerdings nicht die gewünschten Randbedingungen fab. Somit können wir c als Lösung ausschlissen. item Ähnliches gilt für c . item Es bleibt somit einzig c als möglicher Ansatz für eine Lösung. itemize Für c ergibt sich: f'z sqrtfracc^z-c^z solange z fracc^. Um die Lösung zu verstehen substituiert man: z fracc^sin^leftfracPhiright fracc^-cos Phi sodass fracddfddz sqrtfracsin^leftfracPhirightcos^leftfracPhiright fracsinleftfracPhirightcosleftfracPhiright. Für xPhifzPhi ist also fracddxddPhi fracddfddz fracddzddPhi fracsinleftfracPhirightcosleftfracPhiright fracc^sinleftfracPhirightcosleftfracPhiright fracc^sin^leftfracPhiright which leads to Rightarrow xPhix+_^Phi fracc^sin^leftfracPhi'rightddPhi' fracc^Phi-sinPhi Für die Bahnkurve gild damit: pmatrix xPhi zPhi pmatrix pmatrix fracc^Phi-sinPhi fracc^-cosPhi pmatrix bf Bemerkungen itemize item Die Konstante c ist so bestimmt dass es ein Phi_in pi gibt mit pmatrix xPhi zPhi pmatrix pmatrix b a pmatrix also fracbafracPhi_-sinPhi_-cosPhi_ cfracsinleftfracPhi_rightsqrta. item Form der Bahnkurve: Zykloide: R^xPhi-RPhi^+zPhi-R^ Rfracc^ Punkt am Rand eines abrollen Kreises. itemize Für den zeitlichen Verlauf: tPhi _^zPhisqrtfrac+f'z^gzddz _^Phi fracddPhi'csqrtg fracPhicsqrtg d.h. Phi ist proportional zur Zeit. Die minimale Zeit von nach ba ist also: T fracPhi_csqrtg fracPhi_sinleftfracPhi_rightsqrtfracag.
Bestimme die schnellste Bahnkurve zwischen zwei Punkten A und B auf welcher ein Massenpunkt unter dem Einfluss der Gravitation reibungsfrei gleitet.
Solution:
Zunächst eine Skizze des vorliegen Problems: center tikzpicturescale % Draw axes draw-latex green -- noderight x; draw-latex green -- nodebelow z; % Draw parabola-like function drawpurple!!white thick smooth plot coordinates . . . . . . . . ; % Draw pos A and B coordinate A at ; fill A circle . nodeabove left A; coordinate B at ; fill B circle . nodebelow right B; coordinate a at ; fill a circle . nodeleft a; coordinate b at ; fill b circle . nodeabove b; coordinate z at ; fill violet z circle . nodeabove violet tiny fzz; coordinate h at .; fill violet h circle . nodeleft above blue!!white; coordinate i at . .; fill violet i circle . nodeleft above red tiny ds; drawblue!!white dashed b -- B; drawblue!!white dashed a -- B; drawblue!!white thick z -- h nodeleft midway tiny dz; drawblack!!white thick i -- h nodebelow midway tiny dx; drawred thick z -- i; tikzpicture center Nun möchte man die Zeit bei vorgegebener Kurve fzz bestimmen. Dafür verwet man einerseits itemize item die Geschwindigkeit bei fzz durch Energieerhaltung: E_textpot E_textkin mgz fracmv^ &Rightarrow vsqrtgz item das Streckenelement der Kurve wie in der Skizze ersichtlich: dds^ ddx^+ddz^ f'z^+ddz^ itemize Mit diesen beiden Grössen kann nun die Zeit berechnet werden wie folgt: Tf _textKurvefracddsv _^a sqrtfrac+f'z^gzddz Das Ziel ist es nun eine Funktion f mithilfe vorgegebener Randbedingungen f fab finden sodass Tf minimal ist. bf Idee: Ableitungstest! Ist hhz beliebig mit hha so beschreibt f+epsilon h epsilon in mathbbR auch eine mögliche Bahnkurve quasi Anfangs- und Endpunkt fix dazwischen Bewegung der Kurve beliebig. Wir verlangen Tfleq Tf+epsilon h für alle solchen h und epsilonin mathbbR demnach muss gelten: fractextdddepsilonTf+epsilon hBig|_epsilon _^a fracpartialpartial epsilonsqrtfrac+f'z+epsilon h'z^gzBigg|_epsilonddz _^a fracf'zh'zsqrtgz+f'z^ddz ^textp.I.fracf'zhzsqrtgz+f'z^Bigg|_epsilon - _^a hzfractextdddzleftfracf'zsqrtgz+f'z^rightddz da hha. Damit dies für alle erlaubten h verschwindet muss also gelten: fractextdddzleftfracf'zsqrtgz+f'z^right D.h. die Lösung des Brachistochronenproblems muss diese Differentialgleichung erfüllen. Dazu löst man: leftfracf'zsqrtgz+f'z^right c itemize item Für c wäre f' also fzf für alle z damit erfüllt es allerdings nicht die gewünschten Randbedingungen fab. Somit können wir c als Lösung ausschlissen. item Ähnliches gilt für c . item Es bleibt somit einzig c als möglicher Ansatz für eine Lösung. itemize Für c ergibt sich: f'z sqrtfracc^z-c^z solange z fracc^. Um die Lösung zu verstehen substituiert man: z fracc^sin^leftfracPhiright fracc^-cos Phi sodass fracddfddz sqrtfracsin^leftfracPhirightcos^leftfracPhiright fracsinleftfracPhirightcosleftfracPhiright. Für xPhifzPhi ist also fracddxddPhi fracddfddz fracddzddPhi fracsinleftfracPhirightcosleftfracPhiright fracc^sinleftfracPhirightcosleftfracPhiright fracc^sin^leftfracPhiright which leads to Rightarrow xPhix+_^Phi fracc^sin^leftfracPhi'rightddPhi' fracc^Phi-sinPhi Für die Bahnkurve gild damit: pmatrix xPhi zPhi pmatrix pmatrix fracc^Phi-sinPhi fracc^-cosPhi pmatrix bf Bemerkungen itemize item Die Konstante c ist so bestimmt dass es ein Phi_in pi gibt mit pmatrix xPhi zPhi pmatrix pmatrix b a pmatrix also fracbafracPhi_-sinPhi_-cosPhi_ cfracsinleftfracPhi_rightsqrta. item Form der Bahnkurve: Zykloide: R^xPhi-RPhi^+zPhi-R^ Rfracc^ Punkt am Rand eines abrollen Kreises. itemize Für den zeitlichen Verlauf: tPhi _^zPhisqrtfrac+f'z^gzddz _^Phi fracddPhi'csqrtg fracPhicsqrtg d.h. Phi ist proportional zur Zeit. Die minimale Zeit von nach ba ist also: T fracPhi_csqrtg fracPhi_sinleftfracPhi_rightsqrtfracag.
Meta Information
Exercise:
Bestimme die schnellste Bahnkurve zwischen zwei Punkten A und B auf welcher ein Massenpunkt unter dem Einfluss der Gravitation reibungsfrei gleitet.
Solution:
Zunächst eine Skizze des vorliegen Problems: center tikzpicturescale % Draw axes draw-latex green -- noderight x; draw-latex green -- nodebelow z; % Draw parabola-like function drawpurple!!white thick smooth plot coordinates . . . . . . . . ; % Draw pos A and B coordinate A at ; fill A circle . nodeabove left A; coordinate B at ; fill B circle . nodebelow right B; coordinate a at ; fill a circle . nodeleft a; coordinate b at ; fill b circle . nodeabove b; coordinate z at ; fill violet z circle . nodeabove violet tiny fzz; coordinate h at .; fill violet h circle . nodeleft above blue!!white; coordinate i at . .; fill violet i circle . nodeleft above red tiny ds; drawblue!!white dashed b -- B; drawblue!!white dashed a -- B; drawblue!!white thick z -- h nodeleft midway tiny dz; drawblack!!white thick i -- h nodebelow midway tiny dx; drawred thick z -- i; tikzpicture center Nun möchte man die Zeit bei vorgegebener Kurve fzz bestimmen. Dafür verwet man einerseits itemize item die Geschwindigkeit bei fzz durch Energieerhaltung: E_textpot E_textkin mgz fracmv^ &Rightarrow vsqrtgz item das Streckenelement der Kurve wie in der Skizze ersichtlich: dds^ ddx^+ddz^ f'z^+ddz^ itemize Mit diesen beiden Grössen kann nun die Zeit berechnet werden wie folgt: Tf _textKurvefracddsv _^a sqrtfrac+f'z^gzddz Das Ziel ist es nun eine Funktion f mithilfe vorgegebener Randbedingungen f fab finden sodass Tf minimal ist. bf Idee: Ableitungstest! Ist hhz beliebig mit hha so beschreibt f+epsilon h epsilon in mathbbR auch eine mögliche Bahnkurve quasi Anfangs- und Endpunkt fix dazwischen Bewegung der Kurve beliebig. Wir verlangen Tfleq Tf+epsilon h für alle solchen h und epsilonin mathbbR demnach muss gelten: fractextdddepsilonTf+epsilon hBig|_epsilon _^a fracpartialpartial epsilonsqrtfrac+f'z+epsilon h'z^gzBigg|_epsilonddz _^a fracf'zh'zsqrtgz+f'z^ddz ^textp.I.fracf'zhzsqrtgz+f'z^Bigg|_epsilon - _^a hzfractextdddzleftfracf'zsqrtgz+f'z^rightddz da hha. Damit dies für alle erlaubten h verschwindet muss also gelten: fractextdddzleftfracf'zsqrtgz+f'z^right D.h. die Lösung des Brachistochronenproblems muss diese Differentialgleichung erfüllen. Dazu löst man: leftfracf'zsqrtgz+f'z^right c itemize item Für c wäre f' also fzf für alle z damit erfüllt es allerdings nicht die gewünschten Randbedingungen fab. Somit können wir c als Lösung ausschlissen. item Ähnliches gilt für c . item Es bleibt somit einzig c als möglicher Ansatz für eine Lösung. itemize Für c ergibt sich: f'z sqrtfracc^z-c^z solange z fracc^. Um die Lösung zu verstehen substituiert man: z fracc^sin^leftfracPhiright fracc^-cos Phi sodass fracddfddz sqrtfracsin^leftfracPhirightcos^leftfracPhiright fracsinleftfracPhirightcosleftfracPhiright. Für xPhifzPhi ist also fracddxddPhi fracddfddz fracddzddPhi fracsinleftfracPhirightcosleftfracPhiright fracc^sinleftfracPhirightcosleftfracPhiright fracc^sin^leftfracPhiright which leads to Rightarrow xPhix+_^Phi fracc^sin^leftfracPhi'rightddPhi' fracc^Phi-sinPhi Für die Bahnkurve gild damit: pmatrix xPhi zPhi pmatrix pmatrix fracc^Phi-sinPhi fracc^-cosPhi pmatrix bf Bemerkungen itemize item Die Konstante c ist so bestimmt dass es ein Phi_in pi gibt mit pmatrix xPhi zPhi pmatrix pmatrix b a pmatrix also fracbafracPhi_-sinPhi_-cosPhi_ cfracsinleftfracPhi_rightsqrta. item Form der Bahnkurve: Zykloide: R^xPhi-RPhi^+zPhi-R^ Rfracc^ Punkt am Rand eines abrollen Kreises. itemize Für den zeitlichen Verlauf: tPhi _^zPhisqrtfrac+f'z^gzddz _^Phi fracddPhi'csqrtg fracPhicsqrtg d.h. Phi ist proportional zur Zeit. Die minimale Zeit von nach ba ist also: T fracPhi_csqrtg fracPhi_sinleftfracPhi_rightsqrtfracag.
Bestimme die schnellste Bahnkurve zwischen zwei Punkten A und B auf welcher ein Massenpunkt unter dem Einfluss der Gravitation reibungsfrei gleitet.
Solution:
Zunächst eine Skizze des vorliegen Problems: center tikzpicturescale % Draw axes draw-latex green -- noderight x; draw-latex green -- nodebelow z; % Draw parabola-like function drawpurple!!white thick smooth plot coordinates . . . . . . . . ; % Draw pos A and B coordinate A at ; fill A circle . nodeabove left A; coordinate B at ; fill B circle . nodebelow right B; coordinate a at ; fill a circle . nodeleft a; coordinate b at ; fill b circle . nodeabove b; coordinate z at ; fill violet z circle . nodeabove violet tiny fzz; coordinate h at .; fill violet h circle . nodeleft above blue!!white; coordinate i at . .; fill violet i circle . nodeleft above red tiny ds; drawblue!!white dashed b -- B; drawblue!!white dashed a -- B; drawblue!!white thick z -- h nodeleft midway tiny dz; drawblack!!white thick i -- h nodebelow midway tiny dx; drawred thick z -- i; tikzpicture center Nun möchte man die Zeit bei vorgegebener Kurve fzz bestimmen. Dafür verwet man einerseits itemize item die Geschwindigkeit bei fzz durch Energieerhaltung: E_textpot E_textkin mgz fracmv^ &Rightarrow vsqrtgz item das Streckenelement der Kurve wie in der Skizze ersichtlich: dds^ ddx^+ddz^ f'z^+ddz^ itemize Mit diesen beiden Grössen kann nun die Zeit berechnet werden wie folgt: Tf _textKurvefracddsv _^a sqrtfrac+f'z^gzddz Das Ziel ist es nun eine Funktion f mithilfe vorgegebener Randbedingungen f fab finden sodass Tf minimal ist. bf Idee: Ableitungstest! Ist hhz beliebig mit hha so beschreibt f+epsilon h epsilon in mathbbR auch eine mögliche Bahnkurve quasi Anfangs- und Endpunkt fix dazwischen Bewegung der Kurve beliebig. Wir verlangen Tfleq Tf+epsilon h für alle solchen h und epsilonin mathbbR demnach muss gelten: fractextdddepsilonTf+epsilon hBig|_epsilon _^a fracpartialpartial epsilonsqrtfrac+f'z+epsilon h'z^gzBigg|_epsilonddz _^a fracf'zh'zsqrtgz+f'z^ddz ^textp.I.fracf'zhzsqrtgz+f'z^Bigg|_epsilon - _^a hzfractextdddzleftfracf'zsqrtgz+f'z^rightddz da hha. Damit dies für alle erlaubten h verschwindet muss also gelten: fractextdddzleftfracf'zsqrtgz+f'z^right D.h. die Lösung des Brachistochronenproblems muss diese Differentialgleichung erfüllen. Dazu löst man: leftfracf'zsqrtgz+f'z^right c itemize item Für c wäre f' also fzf für alle z damit erfüllt es allerdings nicht die gewünschten Randbedingungen fab. Somit können wir c als Lösung ausschlissen. item Ähnliches gilt für c . item Es bleibt somit einzig c als möglicher Ansatz für eine Lösung. itemize Für c ergibt sich: f'z sqrtfracc^z-c^z solange z fracc^. Um die Lösung zu verstehen substituiert man: z fracc^sin^leftfracPhiright fracc^-cos Phi sodass fracddfddz sqrtfracsin^leftfracPhirightcos^leftfracPhiright fracsinleftfracPhirightcosleftfracPhiright. Für xPhifzPhi ist also fracddxddPhi fracddfddz fracddzddPhi fracsinleftfracPhirightcosleftfracPhiright fracc^sinleftfracPhirightcosleftfracPhiright fracc^sin^leftfracPhiright which leads to Rightarrow xPhix+_^Phi fracc^sin^leftfracPhi'rightddPhi' fracc^Phi-sinPhi Für die Bahnkurve gild damit: pmatrix xPhi zPhi pmatrix pmatrix fracc^Phi-sinPhi fracc^-cosPhi pmatrix bf Bemerkungen itemize item Die Konstante c ist so bestimmt dass es ein Phi_in pi gibt mit pmatrix xPhi zPhi pmatrix pmatrix b a pmatrix also fracbafracPhi_-sinPhi_-cosPhi_ cfracsinleftfracPhi_rightsqrta. item Form der Bahnkurve: Zykloide: R^xPhi-RPhi^+zPhi-R^ Rfracc^ Punkt am Rand eines abrollen Kreises. itemize Für den zeitlichen Verlauf: tPhi _^zPhisqrtfrac+f'z^gzddz _^Phi fracddPhi'csqrtg fracPhicsqrtg d.h. Phi ist proportional zur Zeit. Die minimale Zeit von nach ba ist also: T fracPhi_csqrtg fracPhi_sinleftfracPhi_rightsqrtfracag.
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