Analysis I Metrischer Raum
About points...
We associate a certain number of points with each exercise.
When you click an exercise into a collection, this number will be taken as points for the exercise, kind of "by default".
But once the exercise is on the collection, you can edit the number of points for the exercise in the collection independently, without any effect on "points by default" as represented by the number here.
That being said... How many "default points" should you associate with an exercise upon creation?
As with difficulty, there is no straight forward and generally accepted way.
But as a guideline, we tend to give as many points by default as there are mathematical steps to do in the exercise.
Again, very vague... But the number should kind of represent the "work" required.
When you click an exercise into a collection, this number will be taken as points for the exercise, kind of "by default".
But once the exercise is on the collection, you can edit the number of points for the exercise in the collection independently, without any effect on "points by default" as represented by the number here.
That being said... How many "default points" should you associate with an exercise upon creation?
As with difficulty, there is no straight forward and generally accepted way.
But as a guideline, we tend to give as many points by default as there are mathematical steps to do in the exercise.
Again, very vague... But the number should kind of represent the "work" required.
About difficulty...
We associate a certain difficulty with each exercise.
When you click an exercise into a collection, this number will be taken as difficulty for the exercise, kind of "by default".
But once the exercise is on the collection, you can edit its difficulty in the collection independently, without any effect on the "difficulty by default" here.
Why we use chess pieces? Well... we like chess, we like playing around with \(\LaTeX\)-fonts, we wanted symbols that need less space than six stars in a table-column... But in your layouts, you are of course free to indicate the difficulty of the exercise the way you want.
That being said... How "difficult" is an exercise? It depends on many factors, like what was being taught etc.
In physics exercises, we try to follow this pattern:
Level 1 - One formula (one you would find in a reference book) is enough to solve the exercise. Example exercise
Level 2 - Two formulas are needed, it's possible to compute an "in-between" solution, i.e. no algebraic equation needed. Example exercise
Level 3 - "Chain-computations" like on level 2, but 3+ calculations. Still, no equations, i.e. you are not forced to solve it in an algebraic manner. Example exercise
Level 4 - Exercise needs to be solved by algebraic equations, not possible to calculate numerical "in-between" results. Example exercise
Level 5 -
Level 6 -
When you click an exercise into a collection, this number will be taken as difficulty for the exercise, kind of "by default".
But once the exercise is on the collection, you can edit its difficulty in the collection independently, without any effect on the "difficulty by default" here.
Why we use chess pieces? Well... we like chess, we like playing around with \(\LaTeX\)-fonts, we wanted symbols that need less space than six stars in a table-column... But in your layouts, you are of course free to indicate the difficulty of the exercise the way you want.
That being said... How "difficult" is an exercise? It depends on many factors, like what was being taught etc.
In physics exercises, we try to follow this pattern:
Level 1 - One formula (one you would find in a reference book) is enough to solve the exercise. Example exercise
Level 2 - Two formulas are needed, it's possible to compute an "in-between" solution, i.e. no algebraic equation needed. Example exercise
Level 3 - "Chain-computations" like on level 2, but 3+ calculations. Still, no equations, i.e. you are not forced to solve it in an algebraic manner. Example exercise
Level 4 - Exercise needs to be solved by algebraic equations, not possible to calculate numerical "in-between" results. Example exercise
Level 5 -
Level 6 -
Question
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Short
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Exercise:
Sei Xd ein metrischer Raum und x_n_ninmathbbN eine Folge in X. abcliste abc Wann ist x_n_ninmathbbN eine Cauchy-Folge? Geben Sie die Definition an. abc Sei r und x_n_ninmathbbN eine Folge welche |x_n-x_n+| leq r_n für alle n in mathbbN erfüllt. Zeigen Sie dass x_n_nin mathbbN eine Cauchy-Folge ist. abc Sei x_n_ninmathbbN die Folge in mathbbR definiert durch x_ x_ textund x_n+ fracx_n + fracx_n- für alle n geq . Zeigen Sie dass x_n_ninmathbbN konvergiert. abcliste
Solution:
abcliste abc Eine Folge x_n_ninmathbbN in einem metrischen Raum Xd ist eine Cauchy-Folge falls es für jedes epsilon ein N in mathbbN gibt so dass dx_mx_n epsilon für alle mn geq N gilt. abc Sei epsilon . Sei m geq n. Aus |x_n - x_n+| leq r^n folgt nach mehrmaligem Anwen der Dreiecksungleichung: |x_n-x_m|leq|x_n-x_n+|+|x_n+-x_n+|+... +|x_m--x_m|leq r^n +r^n+ +...+r^m leq fracr^n-r wobei man im letzten Schritt die geometrische Reihe benutzt _k^infty aq^k fraca-q |q| . Weil r ist gibt es ausserdem ein N in mathbbN so dass r_n epsilon - r für alle n geq N ist. Dies beweist dass x_n_ninmathbbN eine Cauchy-Folge ist. abc Die rekursive Definition impliziert |x_n - x_n+| frac|x_n--x_n|. Mit |x_ - x_| leftfracright^ finden wir induktiv |x_n - x_n+| leftfracright^n |x_n- - x_n|. Mit Teilaufgabe b ist x_n also eine Cauchy-Folge. Weil mathbbR vollständig ist konvergiert die Folge x_n. abcliste
Sei Xd ein metrischer Raum und x_n_ninmathbbN eine Folge in X. abcliste abc Wann ist x_n_ninmathbbN eine Cauchy-Folge? Geben Sie die Definition an. abc Sei r und x_n_ninmathbbN eine Folge welche |x_n-x_n+| leq r_n für alle n in mathbbN erfüllt. Zeigen Sie dass x_n_nin mathbbN eine Cauchy-Folge ist. abc Sei x_n_ninmathbbN die Folge in mathbbR definiert durch x_ x_ textund x_n+ fracx_n + fracx_n- für alle n geq . Zeigen Sie dass x_n_ninmathbbN konvergiert. abcliste
Solution:
abcliste abc Eine Folge x_n_ninmathbbN in einem metrischen Raum Xd ist eine Cauchy-Folge falls es für jedes epsilon ein N in mathbbN gibt so dass dx_mx_n epsilon für alle mn geq N gilt. abc Sei epsilon . Sei m geq n. Aus |x_n - x_n+| leq r^n folgt nach mehrmaligem Anwen der Dreiecksungleichung: |x_n-x_m|leq|x_n-x_n+|+|x_n+-x_n+|+... +|x_m--x_m|leq r^n +r^n+ +...+r^m leq fracr^n-r wobei man im letzten Schritt die geometrische Reihe benutzt _k^infty aq^k fraca-q |q| . Weil r ist gibt es ausserdem ein N in mathbbN so dass r_n epsilon - r für alle n geq N ist. Dies beweist dass x_n_ninmathbbN eine Cauchy-Folge ist. abc Die rekursive Definition impliziert |x_n - x_n+| frac|x_n--x_n|. Mit |x_ - x_| leftfracright^ finden wir induktiv |x_n - x_n+| leftfracright^n |x_n- - x_n|. Mit Teilaufgabe b ist x_n also eine Cauchy-Folge. Weil mathbbR vollständig ist konvergiert die Folge x_n. abcliste
Meta Information
Exercise:
Sei Xd ein metrischer Raum und x_n_ninmathbbN eine Folge in X. abcliste abc Wann ist x_n_ninmathbbN eine Cauchy-Folge? Geben Sie die Definition an. abc Sei r und x_n_ninmathbbN eine Folge welche |x_n-x_n+| leq r_n für alle n in mathbbN erfüllt. Zeigen Sie dass x_n_nin mathbbN eine Cauchy-Folge ist. abc Sei x_n_ninmathbbN die Folge in mathbbR definiert durch x_ x_ textund x_n+ fracx_n + fracx_n- für alle n geq . Zeigen Sie dass x_n_ninmathbbN konvergiert. abcliste
Solution:
abcliste abc Eine Folge x_n_ninmathbbN in einem metrischen Raum Xd ist eine Cauchy-Folge falls es für jedes epsilon ein N in mathbbN gibt so dass dx_mx_n epsilon für alle mn geq N gilt. abc Sei epsilon . Sei m geq n. Aus |x_n - x_n+| leq r^n folgt nach mehrmaligem Anwen der Dreiecksungleichung: |x_n-x_m|leq|x_n-x_n+|+|x_n+-x_n+|+... +|x_m--x_m|leq r^n +r^n+ +...+r^m leq fracr^n-r wobei man im letzten Schritt die geometrische Reihe benutzt _k^infty aq^k fraca-q |q| . Weil r ist gibt es ausserdem ein N in mathbbN so dass r_n epsilon - r für alle n geq N ist. Dies beweist dass x_n_ninmathbbN eine Cauchy-Folge ist. abc Die rekursive Definition impliziert |x_n - x_n+| frac|x_n--x_n|. Mit |x_ - x_| leftfracright^ finden wir induktiv |x_n - x_n+| leftfracright^n |x_n- - x_n|. Mit Teilaufgabe b ist x_n also eine Cauchy-Folge. Weil mathbbR vollständig ist konvergiert die Folge x_n. abcliste
Sei Xd ein metrischer Raum und x_n_ninmathbbN eine Folge in X. abcliste abc Wann ist x_n_ninmathbbN eine Cauchy-Folge? Geben Sie die Definition an. abc Sei r und x_n_ninmathbbN eine Folge welche |x_n-x_n+| leq r_n für alle n in mathbbN erfüllt. Zeigen Sie dass x_n_nin mathbbN eine Cauchy-Folge ist. abc Sei x_n_ninmathbbN die Folge in mathbbR definiert durch x_ x_ textund x_n+ fracx_n + fracx_n- für alle n geq . Zeigen Sie dass x_n_ninmathbbN konvergiert. abcliste
Solution:
abcliste abc Eine Folge x_n_ninmathbbN in einem metrischen Raum Xd ist eine Cauchy-Folge falls es für jedes epsilon ein N in mathbbN gibt so dass dx_mx_n epsilon für alle mn geq N gilt. abc Sei epsilon . Sei m geq n. Aus |x_n - x_n+| leq r^n folgt nach mehrmaligem Anwen der Dreiecksungleichung: |x_n-x_m|leq|x_n-x_n+|+|x_n+-x_n+|+... +|x_m--x_m|leq r^n +r^n+ +...+r^m leq fracr^n-r wobei man im letzten Schritt die geometrische Reihe benutzt _k^infty aq^k fraca-q |q| . Weil r ist gibt es ausserdem ein N in mathbbN so dass r_n epsilon - r für alle n geq N ist. Dies beweist dass x_n_ninmathbbN eine Cauchy-Folge ist. abc Die rekursive Definition impliziert |x_n - x_n+| frac|x_n--x_n|. Mit |x_ - x_| leftfracright^ finden wir induktiv |x_n - x_n+| leftfracright^n |x_n- - x_n|. Mit Teilaufgabe b ist x_n also eine Cauchy-Folge. Weil mathbbR vollständig ist konvergiert die Folge x_n. abcliste
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